Consideriamo il circuito in figura:
Sia Vg un generatore di tensione. Possiamo studiare tre casi:
Vg è costante
Vg è sinusoidale
Vg è un segnale qualsiasi
In questo post ci occuperemo del primo caso, in cui Vg è una tensione continua. Supporremo inoltre, per semplicità, che all'istante t=0 la corrente i nel circuito sia nulla.
Chiudendo il circuito in esso comincia a circolare corrente e si stabiliscono delle tensioni ai capi della resistenza R (cui ci riferiremo con il simbolo Vr) e dell'induttanza L (che indicheremo con Vn). Sia le tensioni che la corrente variano nel tempo. Noi vogliamo determinare il loro andamento.
Vale l'ovvia relazione:
Vg=Vr(t) + Vn(t) [1]
il cui significato fisico è che, in ogni istante, la tensione esterna applicata Vg è uguale alla somma della caduta di tensione sulla resistenza (Vr) e della caduta di tensione sull'induttanza (Vn).
Sappiamo, dal corso di elettromagnetismo, che tra la corrente circolante in un'induttanza e la tensione ai suoi capi esiste la relazione:
Vn(t)= L*di(t)/dt [2]
Gli studenti delle prime classi delle medie superiori ignorano il significato dell'espressione di(t)/dt, per cui è necessaria una spiegazione, almeno intuitiva. Essa indica il rapporto tra una variazione molto piccola della corrente che circola nell'induttanza, di(t), divisa per il piccolo tempo dt in cui tale variazione si verifica. E' ovvio che dobbiamo considerare la possibilità (ed in effetti in questo caso è così) che questo rapporto sia variabile con il tempo.
Ricordando la legge di ohm (la caduta di tensione ai capi di una resistenza è uguale al suo valore per la corrente che la attraversa), la [2] può dunque essere scritta così:
Vg= R * i(t) + L * di(t)/dt [3]
Per risolvere questa equazione, che è detta differenziale ordinaria, i metodi algebrici conosciuti dagli studenti delle prime classi delle medie superiori non bastano. Possiamo procedere allora utilizzando due metodi.
Il primo, che scherzosamente mi piace chiamare "credere, obbedire, combattere" consiste nel fornire direttamente la soluzione; il secondo consiste nel risolvere l'equazione con il computer. Esaminiamoli entrambi.
Io=Vg/R [5]
τ = L/R [6]
Per la legge di ohm, Vr(t)=R * i(t), segue facilmente che:
Vr(t) = R * Io * (1 - e-t/τ) [7]
L'andamento di i(t) e Vr(t) è simile, ed è un esponenziale crescente.
Vg è costante
Vg è sinusoidale
Vg è un segnale qualsiasi
In questo post ci occuperemo del primo caso, in cui Vg è una tensione continua. Supporremo inoltre, per semplicità, che all'istante t=0 la corrente i nel circuito sia nulla.
Chiudendo il circuito in esso comincia a circolare corrente e si stabiliscono delle tensioni ai capi della resistenza R (cui ci riferiremo con il simbolo Vr) e dell'induttanza L (che indicheremo con Vn). Sia le tensioni che la corrente variano nel tempo. Noi vogliamo determinare il loro andamento.
Vale l'ovvia relazione:
Vg=Vr(t) + Vn(t) [1]
il cui significato fisico è che, in ogni istante, la tensione esterna applicata Vg è uguale alla somma della caduta di tensione sulla resistenza (Vr) e della caduta di tensione sull'induttanza (Vn).
Sappiamo, dal corso di elettromagnetismo, che tra la corrente circolante in un'induttanza e la tensione ai suoi capi esiste la relazione:
Vn(t)= L*di(t)/dt [2]
Gli studenti delle prime classi delle medie superiori ignorano il significato dell'espressione di(t)/dt, per cui è necessaria una spiegazione, almeno intuitiva. Essa indica il rapporto tra una variazione molto piccola della corrente che circola nell'induttanza, di(t), divisa per il piccolo tempo dt in cui tale variazione si verifica. E' ovvio che dobbiamo considerare la possibilità (ed in effetti in questo caso è così) che questo rapporto sia variabile con il tempo.
Ricordando la legge di ohm (la caduta di tensione ai capi di una resistenza è uguale al suo valore per la corrente che la attraversa), la [2] può dunque essere scritta così:
Vg= R * i(t) + L * di(t)/dt [3]
Per risolvere questa equazione, che è detta differenziale ordinaria, i metodi algebrici conosciuti dagli studenti delle prime classi delle medie superiori non bastano. Possiamo procedere allora utilizzando due metodi.
Il primo, che scherzosamente mi piace chiamare "credere, obbedire, combattere" consiste nel fornire direttamente la soluzione; il secondo consiste nel risolvere l'equazione con il computer. Esaminiamoli entrambi.
Il metodo "credere, obbedire, combattere"
La soluzione della [3] è data dalla formula:
i(t) = Io * (1 - e-t/τ) [4]
essendo:Io=Vg/R [5]
τ = L/R [6]
Per la legge di ohm, Vr(t)=R * i(t), segue facilmente che:
Vr(t) = R * Io * (1 - e-t/τ) [7]
L'andamento di i(t) e Vr(t) è simile, ed è un esponenziale crescente.
Il metodo numerico
Esponiamo ora il metodo di risoluzione numerico, facendo uso di un foglio di calcolo. Il metodo consiste nel trovare il modo di calcolare il valore della corrente al tempo t+dt a partire dal valore della corrente al tempo t. Possiamo indicare la corrente al tempo t+dt con l'indice ik+1, e la corrente al tempo t con l'indice ik. Una volta trovata tale relazione, la si usa per calcolare la corrente dopo un tempo pari a 1 * dt a partire dalla corrente al tempo 0. Calcolata la corrente al tempo 1 * dt, si usa questo valore per calcolarla al tempo 2 * dt, e così via. Questo procedimento è detto iterativo.
Possiamo così scrivere:
di(t)/dt = (ik+1 -ik)/dt [8]
Possiamo così scrivere:
di(t)/dt = (ik+1 -ik)/dt [8]
e riscrivere la [3] di conseguenza:
Vg= R * ik + L * (ik+1 -ik)/dt [9]
Dopo qualche passaggio si ottiene:
ik+1 = ik + [(Vg - R * ik)/L] * dt [10]
Per dare inizio all'iterazione è necessario conoscere la corrente iniziale, quella al tempo t=o, che ha indice i0 (la quale, lo ricordiamo, è nulla). La [10] diventa così:
i1 = i0 + [(Vg - R * i0)/L] * dt = 0 + [(Vg - R * 0)/L] * dt = Vg/L
Avviata l'iterazione si calcolano i valori successivi.
Il foglio excel con la simulazione è questo.
Nota del prof: il circuito in questione è di tipo derivativo (proverò a spiegarvi a voce cosa significa), ragion per cui la sua simulazione numerica presenta gravi problemi di instabilità, come si può verificare modificando i parametri R e L.
Vg= R * ik + L * (ik+1 -ik)/dt [9]
Dopo qualche passaggio si ottiene:
ik+1 = ik + [(Vg - R * ik)/L] * dt [10]
Per dare inizio all'iterazione è necessario conoscere la corrente iniziale, quella al tempo t=o, che ha indice i0 (la quale, lo ricordiamo, è nulla). La [10] diventa così:
i1 = i0 + [(Vg - R * i0)/L] * dt = 0 + [(Vg - R * 0)/L] * dt = Vg/L
Avviata l'iterazione si calcolano i valori successivi.
Il foglio excel con la simulazione è questo.
Nota del prof: il circuito in questione è di tipo derivativo (proverò a spiegarvi a voce cosa significa), ragion per cui la sua simulazione numerica presenta gravi problemi di instabilità, come si può verificare modificando i parametri R e L.
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