La modulazione analogica angolare (di frequenza e di fase)

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Nella modulazione angolare l'argomento di una portante sinusoidale viene variato in funzione dell'ampiezza di un segnale modulante. Si ricorda che la frequenza della portante è sempre molto maggiore della frequenza della modulante.

Chiariamo subito cos'è l'argomento della portante sinusoidale. Esso è il valore istantaneo f(t)=2p·f_p·t sul quale si calcola la funzione coseno (o seno) che descrive la portante.

Indichiamo con il pedice "p" le grandezze riferite alla portante e con il pedice "m" quelle riferite alla modulante. Se f_p è la frequenza della portante, e f_m quella della modulante (supposta per semplicità essere un segnale sinusoidale, con f_p>>f_m) allora modulare l'argomento della portante (supposta per semplicità di ampiezza unitaria):

V_p(t)=cos(2p·f_p·t)

significa variare l'argomento della funzione coseno, f(t)=2·p·f_p·t in funzione dell'ampiezza della modulante, oltre che del tempo. In altre parole, nella formula precedente la f_p diventa:

f(t)= f_p + Df·cos(2p·f_m·t)

In tal modo l'espressione della portante modulata diventa:

V(t)=cos{2p·[f_p + Df·cos(2p·f_m·t)]·t}

Ovvero:

V(t)=cos[2p·f_p·t + 2p·Df·t·cos(2p·f_m·t)]

Ricordando che la pulsazione w può essere scritta come: w=2p·f e quindi 2p·Df=Dw

V(t)=cos[w_p·t + Dw·t·cos(w_m·t)]

Si definisce indice di modulazione il rapporto: m_f=Dw/w_m

Quando l'indice di modulazione è minore di 1 si parla di modulazione di frequenza in banda stretta, altrimenti si ha modulazione in banda larga e in ricezione è più difficile separare la modulante dalla portante. Nella modulazione in banda larga l'analisi spettrale diventa molto più complessa, sebbene le prestazioni complessive dei sistemi di trasmissione siano nettamente migliori.

L'analisi in frequenza del segnale modulato

L'analisi in frequenza, nel caso della modulazione angolare, è più complessa rispetto alla modulazione di ampiezza. Essa può essere affrontata con i teoremi della trigonometria solo quando il segnale modulante è anch'esso sinusoidale e l'indice di modulazione è minore di 1, ma per un generico segnale modulante e soprattutto con indice di modulazione maggiore di 1 si deve far ricorso a strumenti di matematica un po' più complessi. Nella figura sottostante è riportato lo spettro di un singolo segnale sinusoidale modulato in frequenza con indice di modulazione minore di 1:



La larghezza di banda può essere calcolata, con buona approssimazione, usando la formula di Carson:

B_fm=2·f_m·(m_f+1)=2·(Df+f_m)

La formula di Carson è valida con buona approssimazione anche per un segnale generico. In tal caso si deve considerare la massima frequenza contenuta in esso.

Per capire in che modo si esegue l'analisi spettrale quando il segnale modulante non è una singola sinusoide, cioè nelle situazioni reali, è necessario ricordare il teorema di Fourier. Il teorema di Fourier afferma che un qualsiasi segnale periodico, sotto alcune condizioni matematiche (sempre verificate per i segnali fisici), può essere ottenuto mediante la somma di un termine costante e di infinite funzioni sinusoidali, le cui frequenze sono multipli interi di quella del segnale (ovvero le cui pulsazioni sono multipli interi di quella del segnale). Indicando con w₀ = 2p·f₀ la pulsazione di un segnale periodico v(t), di qualsiasi forma, a frequenza f₀, il teorema ha la seguente espressione matematica, definita sviluppo in serie di Fourier:



I coefficienti di questa formula possono essere calcolati con metodi che non sono alla portata di studenti del 4° Itis. Soprassediamo a ciò e osserviamo un dettaglio importante: la formula precedente è valida per un segnale generico che sia però periodico, con frequenza che abbiamo indicato con f₀. Cosa accade quando il segnale non è periodico, come è nelle situazioni reali? Ebbene, anche in questo caso è possibile scomporlo in una somma di infinite armoniche, infinitamente vicine le une alle altre. I calcoli per affrontare questa situazione sono ancora più complessi, per cui ci limiteremo a descrivere sommariamente il caso della modulazione in frequenza in banda larga di un generico segnale periodico, con frequenza fondamentale f₀.

Si può dimostrare che le ampiezze delle armoniche che costituiscono il segnale modulato dipendono dall'indice di modulazione e dall'andamento di particolari funzioni, dette di Bessel.



Nella figura sono riportate le funzioni di Bessel, ordinate con un indice che parte da 0. In ascisse è riportato l'indice di modulazione.  Supponiamo che l'indice di modulazione sia pari a 3. Le ampiezze delle armoniche che compongono il segnale modulato in frequenza in banda larga sono date dai valori (in modulo) delle intersezioni della retta verticale in corrispondenza dell'indice di modulazione pari a 3 con gli andamenti delle funzioni di Bessel. Calcoli analoghi possono essere eseguiti per i valori delle fasi.

Le funzioni di Bessel

Una esposizione delle funzioni di Bessel esula dagli scopi di questo corso. Tuttavia possiamo divertirci a graficarle usando una tabella elettronica. La sintassi per calcolare il valore di una funzione di Bessel di ordine n (=0,1,2,3,4....) nel punto x è: =BESSEL.J(x;n). Buon divertimento.